Ro-ràdh do Triantanometry

Faic cuideachd: Geoimeatraidh Ro-ràdh

Tha triantanachd, mar a bhiodh an t-ainm a ’moladh, mu dheidhinn triantanan.

Gu sònraichte, tha trigonometry mu thriantanan ceart-cheàrnach, far a bheil aon de na ceàrnan a-staigh 90 °. Is e trigonometry siostam a chuidicheas sinn le bhith ag obrachadh a-mach faid no ceàrnan taobh a tha a dhìth no neo-aithnichte ann an triantan.

Tha barrachd mu thriantanan air an duilleag againn air Polygons am bu chòir dhut feum a dhèanamh de na rudan bunaiteach mus leugh thu tuilleadh an seo.



Triantanan ceart-cheàrnach: Cuimhneachan

Tha aon cheàrn cheart aig triantan ceart-cheàrnach. Le mìneachadh, tha sin a ’ciallachadh nach urrainn dha gach taobh a bhith den aon fhaid. Tha triantan ceart-cheàrnach àbhaisteach air a shealltainn gu h-ìosal.

Cumhachan cudromach airson triantanan ceart-cheàrnach


Triantan ceart-cheàrnach a ’sealltainn an aghaidh, ri taobh agus Hypotenuse
  • Tha an ceàrn cheart air a chomharrachadh leis a ’bhogsa bheag san oisean.



  • Tha an ceàrn eile a tha fios againn (mar as trice) air a chomharrachadh le θ (theta) .

  • Canar an taobh mu choinneamh na ceart-cheàrnach, a tha an taobh as fhaide hypotenuse .

  • Canar an taobh mu choinneamh θ ris an mu choinneamh .



  • Is e an taobh ri taobh θ nach eil an hypotenuse ri thaobh .

Teòirim Pythagoras ’vs Trigonometry


Bha Pythagoras na fheallsanaiche Grèigeach a bha beò o chionn 2500 bliadhna. Tha e a ’faighinn creideas airson grunn lorgaidhean matamataigeach agus saidheansail cudromach, is dòcha gur e am fear as cudromaiche dhiubh sin air ainmeachadh mar Teòirim Pythagoras.

Tha e na riaghailt chudromach a tha buntainneach dìreach gu triantanan ceart-cheàrnach . Tha e ag ràdh sin ‘Tha a’ cheàrnag air an hypotenuse co-ionann ri suim nan ceàrnagan air an dà thaobh eile. ’

Tha sin caran toinnte, ach gu dearbh tha e na bhun-bheachd sìmplidh nuair a chì sinn e ann an diagram:

dè tha an artaigil seo a ’ciallachadh ann am Beurla shìmplidh
Pythagoras

Tha teòirim Pythagoras ’ag ràdh:

gudhà+ bdhà= cdhà

Mar sin, ma tha fios againn air fad dà thaobh triantan agus feumaidh sinn an treas fear obrachadh a-mach, is urrainn dhuinn Teòirim Pythagoras ’a chleachdadh.

Ach, mura h-eil fios againn ach air aon taobh agus aon de na ceàrnan a-staigh, an uairsin chan eil Pythagoras gu feum sam bith dhuinn leis fhèin agus feumaidh sinn trigonometry a chleachdadh.


A ’toirt a-steach Sine, Cosine agus Tangent

Tha trì gnìomhan bunaiteach ann an trigonometry, gach fear dhiubh aon taobh de thriantan ceart-cheàrnach air a roinn le taobh eile.

Is iad na trì gnìomhan:

Ainm Giorrachadh Dàimh ri taobhan an triantain
Sine Sin Sin (θ) = Mu choinneimh / hypotenuse
Cosine Rudeigin Cos (θ) = Ri taobh / hypotenuse
Tangent Mar sin Tan (θ) = Mu choinneimh / ri thaobh


A ’cunntadh Sine, Cosine agus Tangent

Is dòcha gum bi e feumail dhut cuimhne a chumail air Sine, Cosine agus Tangent mar SOH CAH TOA.

Faodaidh a bhith a ’cuimhneachadh gnìomhan trigonometric a bhith duilich agus duilich an toiseach. Faodaidh eadhon SOH CAH TOA a bhith duilich. Dh ’fhaodadh tu feuchainn ri mnemonic èibhinn a dhèanamh gus do chuideachadh le bhith a’ cuimhneachadh. Dìreach cùm gach buidheann de thrì litrichean san aon òrdugh.



Mar eisimpleir, dh ’fhaodadh TOA SOH CAH a bhith '' T. e NO ld GU arc-eòlaiche S. aig NO n H. is C. coirce GU nd H. aig ’.

Top Tip!


Air sgàth an dàimh eatorra, faodar Tan θ a thomhas mar:
Sin θ / Cos θ.

Tha seo a ’ciallachadh:

  • Sin θ = Cos θ × Tan θ agus
  • Cos θ = Sin θ / Tan θ.

Trigonometry ann an cearcall

Airson tuilleadh mu chearcaill, no ùrachadh sgiobalta, faic an duilleag againn air Cearcaill agus cumaidhean lùbte .

Nuair a bhios sinn a ’beachdachadh air triantanan, tha sinn cuingealaichte ri ceàrnan nas ìsle na 90 °. Ach, tha trigonometry a cheart cho buntainneach ris a h-uile ceàrnan, bho 0 gu 360 °. Gus tuigse fhaighinn air mar a tha na gnìomhan trigonometric ag obair le ceàrnan nas àirde na 90 °, tha e feumail smaoineachadh mu thriantanan air an togail taobh a-staigh cearcall.

Co-chomharran cearcall Cartesian.



Beachdaich air cearcall, air a roinn ann an ceithir quadrant.

Gu co-chòrdail, tha meadhan a ’chearcaill air a mheas mar cho-òrdanachadh Cartesianach de (0,0). Is e sin, is e luach x 0 agus is e luach y y 0. Airson tuilleadh mu dheidhinn seo, faic an duilleag againn air Co-chomharran cartesian .

Tha luach x nas lugha na 0 aig rud sam bith air taobh clì an ionaid , no tha e àicheil, ged a tha luach dearbhach aig rud sam bith air an taobh cheart.

San aon dòigh tha luach y nas ìsle na 0 aig rud sam bith fon mheadhan , no tha e àicheil agus tha luach y dearbhach aig puing sam bith aig mullach a ’chearcaill.


A ’cleachdadh cearcall le gnìomhan trigonometric airson ceàrnan nas àirde na 90 °.

Diagram i a ’sealltainn dè thachras ma tharraingeas sinn radius bho mheadhan a’ chearcaill air an taobh cheart air an axis x (tha sinn ag ràdh gu bheil seo ann an stiùireadh deimhinneach).

Bidh sinn an uairsin a ’tionndadh an radius ann an taobh tuathal tro cheàrn theta θ. Tha seo a ’cruthachadh triantan ceart-cheàrnach.

mar a thogas tu fèin-spèis ann an inbhich
Sin θ = mu choinneamh (loidhne dhearg)
hypotenuse (loidhne ghorm)

Cos θ = ri thaobh (loidhne uaine)
hypotenuse (loidhne ghorm)

Ann an Diagram yl , tha sinn air an radius a thionndadh nas fhaide ann an slighe tuathal, seachad air an inghearach (y axis) a-steach don ath cheathramh. An seo θ tha ceàrn cas, eadar 90 ° agus 180 °. Tha an ceàrn iomraidh alpha α co-ionann ri 180 ° - θ, agus is e an ceàrn cruinn taobh a-staigh an triantan ceart-cheàrnach.

Sin θ = Sin α = mu choinneamh (loidhne dhearg)
hypotenuse (loidhne ghorm)

Tha an dà chuid na loidhnichean gorm is dearg deimhinneach, mar sin tha sin θ deimhinneach.

Cos θ = −Cos α = ri thaobh (loidhne uaine)
hypotenuse (loidhne ghorm)

Tha cos θ àicheil, leis gu bheil an loidhne uaine àicheil (tha e na laighe air an axis x air taobh clì an tùs (0,0), mar sin tha e anns an roinn àicheil den axis x).

Ann an Diagram iii , tha an radius air gluasad nas fhaide gu tuathal a-steach don ath cheathramh gus am bi luach θ eadar 180 ° agus 270 °. Tha luachan àicheil aig na loidhnichean uaine, dearg is gorm agus α = θ - 180 °. Mar sin tha luach math aig sinines agus cosines.

Diagram iv a ’sealltainn a’ cheathramh mu dheireadh. Tha luach θ eadar 270 ° agus 360 °, tha an loidhne uaine deimhinneach, ach tha na loidhnichean dearga is gorma àicheil. Mar sin tha sin θ deimhinneach agus tha Cos θ àicheil. α = 360 ° - θ.


Cearcall an Aonaid

Tha an 'Cearcall Aonaid' na chùis sònraichte den chearcall a chithear anns na diagraman gu h-àrd. Tha an Aonad Circlehas radius de 1.

Nuair a bhios sinn ag obair le cearcall aonaid is urrainn dhuinn cos, sin agus tan a thomhas gu dìreach:

Sine, Cosine agus Tangent - Cearcall Aonaid

Grafaichean de Sine, Cosine agus Tangent

Faodar an dàimh eadar an ceàrn agus am sin no cos a tharraing mar ghraf:

  • y = sin (θ)
  • y = cos (θ)
Sine, Graf Cosine. www.skillsyouneed.com/num/trigonometry.html

Chì thu nuair a tha θ 0, tha sin cuideachd sine. Tha seo a ’dèanamh ciall nuair a choimheadas tu air diagram cearcall an aonaid gu h-àrd. Nuair a tha θ = 0, tha an taobh ri taobh agus an hypotenuse an dà chuid nan laighe air an axis x deimhinneach agus tha an loidhne dhearg a tha a ’sealltainn luach sin θ a’ dol à sealladh (chan eil triantan ann).

Tha an graf cosine den aon chumadh ri sine, ach tha luach 1 aige nuair a tha θ = 0. A ’coimhead a-rithist air a’ chearcall gu h-àrd, nuair a tha θ = 0, tha an taobh ri taobh agus an hypotenuse an dà chuid nan laighe air an axis x deimhinneach agus tha an aon luach aca, mar sin ri taobh / hypotenuse = 1.

Tha nàdar cearcallach nan grafaichean sine agus cosine gu math cudromach air feadh saidheans, nàdar agus innleadaireachd. Tha eisimpleirean a ’toirt a-steach tagraidhean dealain (sruthan alternating), tonnan fuaim is rèidio, gluasad harmonic sìmplidh (leithid pendulum swing), slighe saideal, no èirigh is tuiteam an làin.

Tha an amplitude is e pàtran tonn cearcallach luach an ‘stùc’ sa ghraf, i.e. an astar bhon axis-x chun an luach as motha no as ìsle. Anns na grafaichean Sine agus Cosine gu h-àrd, tha luach aig an amplitude 1. Ann an tagraidhean leithid fuaim no sruth dealain, tha an amplitude ag atharrachadh, a rèir meud fuaim no meud an t-sruth. Tha meud an làn-mara cuideachd ag atharrachadh, a rèir suidheachadh na gealaich agus a ‘tarraing’ air an talamh.

Tha feartan a ’ghraf tangent (tan θ) gu math eadar-dhealaichte. Chan eil an aig a ’ghraf tangent amplitude (feartan coltach ri tonn) leis nach eil luachan stùc as àirde no as ìsle ann. Bidh e ag atharrachadh bho −∞ gu + ∞ (Infinity àicheil agus adhartach) a ’dol tro 0 gach 180 °:

Graf de loidhnichean tangent.

Aig Infinity (deimhinneach no àicheil) thathar ag ràdh gu bheil neo-mhìneachadh. Is urrainn dhuinn an graf seo a thuigsinn nas fheàrr nuair a bheachdaicheas sinn air an co-aontar tan θ = sin θ / cos θ. Nuair a tha sin θ neoni, feumaidh tan θ a bhith neoni cuideachd. Air an làimh eile, nuair a tha cos θ neoni, bidh an t-ainmiche anns a ’cho-aontar a’ fàs neoni. Tha luach in-ghnè aig rud sam bith a tha air a roinn le neoni, agus mar sin tha luachan θ aig a bheil cosine de neoni cuideachd le beantan doimhneachd air a ’ghraf. Chan eil luach ceart aig Infinity, agus mar sin bidh na loidhnichean air a ’ghraf tangent a’ fàs nas dìriche mar a bhios an axis y ag àrdachadh gu luachan nas motha agus nas motha. Bidh na loidhnichean a ’faighinn nas fhaisge agus nas fhaisge air na loidhnichean dìreach air a’ ghraf airson luachan sònraichte θ, mar eisimpleir aig 90 °. Canar an asymptote .

Inverse de Sine, Cosine agus Tangent

Faodaidh tu cuideachd obrachadh a-mach gu peacadh, cos agus tan, a tha a ’ciallachadh 1 air a roinn leis a’ ghnìomh sin. Tha iad air an ainmeachadh mar sin / cos / tan -1. Leigidh seo dhut an ceàrn obrachadh a-mach ma tha am peacadh, cos no tan agad.

Ann am faclan eile:

  • Sin (90) = 1
  • Sin - 1 (1) = 90 °

Trigonometry agus àireamhairean


Tha gnìomhan peacaidh, cos agus tan aig àireamhairean saidheansail, a bharrachd air gnìomhan neo-dhruim. Is fhiach e beagan mhionaidean a ghabhail gus obrachadh a-mach mar a tha an àireamhair agad ag obair, oir dh ’fhaodadh seo uairean a thìde de theachdaireachd a shàbhaladh dhut nuair a dh’ fheumas tu e.


Triantanan is triantan eile

Bidh trigonometry cuideachd ag obair airson triantanan eile, dìreach chan ann san aon dòigh. An àite sin tha dà riaghailt stèidhichte air triantan mar seo:

Triantanan ann an trigonometry

Is e riaghailt Sine:

mar a sgrìobhas tu seantansan Beurla ceart

gu/às aonais A.=b/sin B.=c/sin C.

Is e Riaghailt Cosine:

cdhà= adhà+ bdhà- 2ab cos (C)


Carson a tha feum agam air triantanachd?

Is e ceist reusanta a tha seo, agus tha am freagairt co-dhiù gu ìre air sgàth gu bheil an fheadhainn a tha a ’co-dhùnadh clàr-oideachaidh matamataig ann an iomadh dùthaich den bheachd gum bu chòir fios a bhith agad mu dheidhinn, agus air adhbhar fìor mhath.

Thathas ag ràdh gur e trigonometry an dàimh matamataigeach as cudromaiche a chaidh a lorg a-riamh. Is e triantanan aon de na cruthan as sìmplidh a lorgar ann an nàdar, ach tha cuideam deatamach air am matamataig, gu sònraichte far a bheil feum air tomhas astar. Nuair a thòisicheas sinn a ’smaoineachadh mu na tagraidhean far a bheil astaran ceart cudromach, tha e coltach gu bheil dusanan ann, a’ toirt a-steach seòladh ann an siostaman nèibhidh agus itealain, reul-eòlas, siostaman saideal, sgrùdaidhean cruinn-eòlasach agus cartografachd (mapaichean), ailtireachd agus innleadaireachd structarail, dealbhadh grafaigeach. agus ìomhaighean air an dèanamh le coimpiutair.

Tha mòran dhiubh sin an urra ri dòigh tomhais ris an canar triantanachadh , a tha a ’cur an gnìomh bun-bheachdan trigonometry.

Eisimpleir: Trigonometry and Navigation

Nuair a tha thu a ’seòladh no a’ seòladh aig muir, far am bi thu a ’tighinn fo bhuaidh:

  • An taobh a stiùireas tu;
  • An astar aig am bi thu a ’siubhal an taobh sin (i.e. astar an motair no na gaoithe); agus
  • Stiùireadh agus astar an làin.

Faodaidh tu a bhith a ’gluasad ann an aon taobh, ach dh’ fhaodadh an làn a bhith a ’tighinn bho aon taobh, agus gad phutadh chun taobh eile. Feumaidh tu trigonometry gus obrachadh a-mach dè cho fada ‘s a shiùbhlas tu agus dè an taobh a tha thu.

Obraich a-mach do stiùir siubhail a ’cleachdadh trigonometry.

Bidh thu, gu ceart, air obrachadh a-mach nach eil e cho sìmplidh ri sin, oir tha an fhìor stiùireadh siubhail an urra ri astar an làin agus an astar agad, ach is dòcha gum faic thu carson a dh ’fhaodadh trigonometry a bhith cudromach!

mar a nì thu cunntas air an àireamh sa cheud eadar dà àireamh

Eisimpleir obrach

Tha thu a-muigh airson seòladh latha, agus chan eil dragh agad càite a bheil thu. Thòisich thu a ’dèanamh air slighe chun ear, agus tha dùil agad seòladh airson uair a thìde aig astar turais 10 km / u. Tha an làn a ’dol gu tuath, agus a’ ruith aig 5km / h. Dè an taobh a bhios tu a ’siubhal a-steach?

  1. An toiseach tarraing an triantan agad , agus sgrìobh na taobhan. Tha thu dìreach a ’dol chun ear, agus mar sin dèan cinnteach gu bheil bonn an triantain, fad 10km. Tha an làn a ’dol gad phutadh gu tuath, mar sin feuch an dèan thu sin air an làimh dheis. Agus tha thu airson faighinn a-mach dè an taobh a bhios tu a ’dol a-steach, gus am bi sin ceàrn θ.

    Eisimpleir trigonometry
  2. Tha an taobh eile agad agus an tè a tha faisg ort, a tha a ’ciallachadh gum feum thu tangent a chleachdadh. Tan θ = Mu choinneimh / faisg air làimh = 5/10 = 0.5.

  3. A-nis an t-àm airson an gnìomh tan inverse a chleachdadh. Is e 26.6 ° an tan inverse de 0.5. Ann am faclan eile, tan 26.6 = 0.5.

  4. Compass Tha stiùireadh (do ‘cheann-sgrìobhadh’ ann an seòladh) air a thomhas bhon taobh a-tuath , a tha 0 ° air do chombaist. Tha do fhreagairt bho (3), ge-tà, air a thomhas bho 90 °, no an Ear. Mar sin feumaidh tu do fhreagairt a thoirt air falbh bho 90 °, gus am freagairt fhaighinn: Tha thu a ’siubhal ann an stiùireadh (ceann) 63.4 °, a tha eadar an Ear-thuath (45 °) agus an Ear-thuath (67.5 °).

Carson a tha seo cudromach? Feumaidh fios a bhith agad dè an taobh a shiubhail thu airson seòladh dhachaigh, gu dearbh!

Ann am fìor bheatha, feumaidh tu cuideachd cuimhneachadh gur dòcha gu bheil an làn air atharrachadh ...


Co-dhùnadh

Is dòcha nach eil an uiread de thagraidhean làitheil aig triantonometry, ach cuidichidh e thu le bhith ag obair le triantanan nas fhasa. Tha e na leasachadh feumail air geoimeatraidh agus fìor thomhasan, agus mar sin is fhiach tuigse fhaighinn air na rudan bunaiteach, eadhon ged nach biodh tu airson adhartas a dhèanamh a-riamh.

Lean air adhart gu:
Geoimeatraidh
Ro-ràdh do Algebra