Cothroman aig an aon àm agus ceithir-cheàrnach

A ’leantainn bho: Ro-ràdh do Algebra

An duilleag againn Ro-ràdh do Algebra a ’mìneachadh mar a dh’ fhuasglas tu co-aontaran neo-fhillte le ailseabra bunaiteach.

Tha an duilleag seo a ’beachdachadh air co-aontaran nas toinnte, a’ toirt a-steach feadhainn le bloighean, agus dà dhuilgheadas sònraichte a dh ’fhaodadh tu a thighinn tarsainn: co-aontaran aig an aon àm agus co-aontaran ceàrnanach.

Nas cudromaiche, tha e a ’dèanamh soilleir gu bheil na co-aontaran sin, mar feadhainn eile, a’ cumail ri riaghailtean, agus gum faod thu fhathast an làimhseachadh, fhad ‘s a chuimhnicheas tu an aon rud a dhèanamh air gach taobh den cho-aontar.



Bracagan ann an Algebra

Ann an co-aontaran ailseabra, bidh thu gu tric a ’tighinn tarsainn air teirmean taobh a-staigh camagan (bracaidean). Gus an co-aontar fhuasgladh, is dòcha gum feum thu leudachadh na cromagan. Tha seo a ’ciallachadh gum feum sinn obrachadh tron ​​abairt agus na cromagan a thoirt air falbh ann an dòigh loidsigeach, a rèir cuid de riaghailtean.



Mura h-eil agad ach aon sheata de camagan anns a ’cho-aontar agad, tha am pròiseas sìmplidh. Mar eisimpleir:

$$ 4 (x - 2) = 18 $ $

Anns a ’chùis seo, tha a h-uile dad taobh a-staigh nan cromagan air taobh clì na co-aontar air iomadachadh le 4. An toiseach, leudaich teirm nan cromagan a rèir teirm:

$$ 4x - 8 = 18 $ $

A-nis faodaidh tu an co-aontar airson (x ) fhuasgladh. An ath rud, cuir 8 ris gach taobh:

$$ 4x = 26 $ $



Mu dheireadh roinn gach taobh le 4:

$$ x = 6.5 $$

Ma tha dà sheata de camagan (no barrachd) aig a ’cho-aontar agad, a dh’ fheumar iomadachadh còmhla, tha am pròiseas nas toinnte, ach a ’leantainn seata riaghailtean loidsigeach.

Mar eisimpleir, leudaich an abairt:

$$ (2x + 5) (x + 4) = 0 $$



Air taobh clì na co-aontar, feumaidh sinn iomadachadh (2 (x ) + 5) le ( (x ) + 4). Anns gach seata de camagan tha barrachd air aon theirm. Chan e dìreach cùis a th ’ann a bhith ag iomadachadh seata de camagan le a coefficient , mar anns an eisimpleir roimhe, far an do rinn thu iomadachadh air a ’bhreic gu lèir le 4.

Anns a ’chùis seo, feumaidh tu iomadachadh a dhèanamh air gach teirm sa chiad bhreic le gach teirm san dàrna bracaid agus an cur còmhla, is e sin, iomadachadh (x ) le (x ), (x ) le 4 , an uairsin (x ) ro 5, an uairsin 4 le 5. Tha e coltach gu bheil e caran toinnte, agus mar sin faodaidh tu dòigh ris an canar a chleachdadh ‘FOIL’ gus cuideachadh.

Modh FOIL airson co-aontaran fhuasgladh. An toiseach, taobh a-muigh, a-staigh, mu dheireadh.

Tha FOIL a ’seasamh F. irst NO uterus I. fhir L. ast.

A ’CHIAD: 2 (x ) × (x ) = 2 (x )dhà



TORAIDHEAN: 2 (x ) × 4 = 8 (x )

A-MHÀIN: 5 × (x ) = 5 (x )

LAST: 5 × 4 = 20

Is e an ath cheum iad sin a chur ri chèile:

2 (x )dhà+ 8 (x ) + 5 (x ) + 20 an aon rud ri 2 (x )dhà+ 13 (x ) + 20.

Mar sin thig an co-aontar tùsail (2 (x ) + 5) ( (x ) + 4) = 0:

$$ 2x ^ 2 + 13x + 20 = 0 $$

Canar a co-aontar cheàrnanach . Tha barrachd air seo gu h-ìosal.

Co-aontaran le Bloighean

Tha co-aontaran le bloighean a ’coimhead beagan eagallach, ach tha cleas sìmplidh ann gus an dèanamh nas fhasa am fuasgladh.

Tar-iomadachadh tha seo a ’toirt a-steach toirt air falbh na bloighean le bhith ag iomadachadh gach taobh le gach seòrsaiche, mu seach. Airson tuilleadh mu bhith ag obair le bloighean, faic an duilleag againn air Bloighean .

Eisimpleir obrach


$$ frac {2 + x} {3} = frac {9 + x} {5} $$

Gus na bloighean a thoirt air falbh, iomadaich gach taobh den cho-aontar le gach seòrsaiche (3 agus 5) mu seach.
Tòisich le bhith ag iomadachadh gach taobh le 3:

$$ frac {3 (2 + x)} {3} = frac {3 (9 + x)} {5} $$

Air an taobh chlì, bidh an dà 3 a ’cuir dheth, a’ fàgail 2 + (x ).
Air an taobh cheart, leudaich na cromagan san àireamhaiche gus 27 + 3 (x ) a dhèanamh

mar a dhèiligeas tu ri giùlan ionnsaigheach
$$ 2 + x = frac {27 + 3x} {5} $$

A-nis iomadaich gach taobh le 5. A-rithist, thèid an dà 5 a chuir dheth air an taobh cheart, agus thig thu gu crìch le:

$$ 5 (2 + x) = 27 + 3x $$ $$ 10 + 5x = 27 + 3x $$

Ath-shuidhich an co-aontar gus am bi teirmean anns a bheil (x ) air an taobh chlì agus teirmean anns nach eil ach àireamhan air an taobh cheart. An toiseach, thoir air falbh 10 bho gach taobh:

$$ 5x = 17 + 3x $ $

An uairsin thoir air falbh 3 (x ) bho gach taobh gus na luachan (x ) air an taobh chlì fhaighinn, agus thig thu gu crìch le:

$$ 2x = 17 $$

Mu dheireadh, le bhith a ’roinneadh gach taobh le 2 a’ toirt dhut luach (x ):

$$ x = 8.5 $$

Thoir fa-near nach fheum (x ) a bhith na àireamh slàn an-còmhnaidh.



Cothroman aig an aon àm

Gu ruige seo chan eil ach aon caochladair ‘neo-aithnichte’, (x ). Is urrainn dhuinn na co-aontaran sin fhuasgladh le bhith a ’cleachdadh ailseabra gus luach (x ) a lorg. Mura h-eil fios agad, chan fheum thu ach aon cho-aontar gus fuasgladh fhaighinn gus am freagairt fhaighinn.

Ach, dè thachras ma tha co-aontar agad mar (y ) = 4 (x ) + 5, far a bheil dà neo-aithnichte , (x ) agus (y )?

Is dòcha gu bheil thu eadhon a ’tighinn tarsainn air co-aontar nas iom-fhillte anns a bheil trì nithean neo-aithnichte, (x ), (y ) agus (z ).

Gus fuasgladh fhaighinn orra sin, is e an riaghailt gum feum thu an aon àireamh de cho-aontaran 's nach eil thu eòlach. Feumaidh na co-aontaran uile a bhith fìor airson a h-uile gin de na neo-aithnichte. Tha seo a ’ciallachadh gum feum thu dà cho-aontar airson dà rud gun fhios, trì co-aontaran airson trì gun fhios, agus mar sin air adhart.

Tha co-aontaran aig an aon àm nan seata de dhà cho-aontar, gach cuid a ’toirt a-steach na h-aon chaochladairean neo-aithnichte, agus tha an dà rud fìor. Thathas a ’toirt iomradh orra mar aig an aon àm oir tha iad air am fuasgladh còmhla.

Tha co-aontaran aig an aon àm air an comharrachadh le bragan fada lùbach gus an ceangal ri chèile.

Is e an dòigh air co-aontaran fhuasgladh aig an aon àm le caochlaideach (x ) agus (y ):

  • An toiseach ath-rèiteachadh aon cho-aontar gus abairt no luach fhaighinn airson (x ). Faodaidh an co-aontar ath-eagraichte a bhith (x ) = àireamh, no dh ’fhaodadh gur e abairt a th’ ann far a bheil (x ) = gnìomh de (y ) (ie (y ) fhathast ann mar neo-aithnichte sa cho-aontar ). Is dòcha gum faic thu seo sgrìobhte mar (x ) = ƒ ( (y )), a tha dìreach a ’ciallachadh gu bheil‘ (x ) na ghnìomh aig (y ) ’.

  • Cho luath ‘s a tha luach no abairt agad airson (x ), faodaidh tu a chuir a-steach don cho-aontar eile gus luach (y ) a lorg. Cha bhith aig a ’cho-aontar ùr seo ach aon rud neo-aithnichte, (y ).

  • Mu dheireadh, ma tha do fhreagairt (x ) =? bho cheum (1) tha ' (y )', an uairsin faodaidh tu do luach (y ) bho cheum (2) a chur an àite an abairt agad airson (x ), gus luach (x a lorg) ).

Eisimpleir obrach 1: Nuair a dh ’fhaodar x fhuasgladh mar luach ann an Ceum 1.

$$ biggl { tòiseachadh {eqnarray} 2x = 6 quad ; ; ; \ y = 4x + 5 deireadh {eqnarray} $$

Ma tha 2 (x ) = 6, an uairsin ( boldsymbol {x} ) = 3 .

Le bhith a ’cur 3 an àite (x ) san dàrna co-aontar, faodaidh tu fuasgladh fhaighinn gus faighinn a-mach dè a th’ ann an (y ).

$$ y = (4 uair 3) + 5 = 17. $$ $$ boldsymbol {y = 17} $$


Eisimpleir obrach 2: Nuair a bheir Ceum 1 (x = ƒ (y) )

$$ biggl { tòiseachadh {eqnarray} x - y = 1 quad ; ; \ 2x + 3y = 27 deireadh {eqnarray} $$

Ceum 1 : Ma tha (x ) & minus; (y ) = 1, an uairsin (x ) = 1 + (y )

Ceum 2 : Le bhith a ’cur seo san dàrna co-aontar a’ toirt 2 (1 + (y )) + 3 (y ) = 27

Bheir leudachadh nan cromagan 2 + 2 (y ) + 3 (y ) = 27

An uairsin 2 + 5 (y ) = 27

Mar sin 5 (y ) = 25, a ’toirt seachad am fuasgladh ( boldsymbol {y} ) = 5.

Ceum 3 : Tha fios againn gu bheil (x ) - (y ) = 1, mar sin ( boldsymbol {x} ) = 6.


Cothroman Ceàrnagach

Canar co-aontar a tha ann an cruth (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) co-aontar cheàrnanach .

Tha ( boldsymbol {a} ), ( boldsymbol {b} ) agus ( boldsymbol {c} ) nan àireamhan uile, agus ann an co-aontar sònraichte dh ’fhaodadh iad uile a bhith mar an ceudna no faodaidh iad a bhith eadar-dhealaichte. Faodaidh iad cuideachd a bhith àicheil no deimhinneach.

Is e eisimpleirean de cho-aontaran ceàrnanach:

  1. ( boldsymbol {2x ^ 2 + 5x + 10 = 0} ). Anns a ’cho-aontar seo, (a ) = 2, (b ) = 5 agus (c ) = 10.

  2. ( boldsymbol {3x ^ 2 - 3x + 9 = 0} ). Anns a ’cho-aontar seo, (a ) = 3, (b ) = -3 agus (c ) = 9.

  3. ( boldsymbol {52x ^ 2 + x} ) & minus; ( boldsymbol {45 = 0} ). Anns a ’cho-aontar seo, (a ) = 52, (b ) = 1 agus (c ) = & minus; 45.

Curves Parabolic agus Cothroman Ceàrnagach


Tha co-aontaran ceàrnanach glè chudromach ann am matamataig agus saidheans. Tha iad mar an ‘tuairisgeul’ matamataigeach de lùb parabolic (parabola). Airson tuilleadh air parabolas agus cumaidhean lùbte eile ris an canar earrannan cònach, faic an duilleag againn air cearcallan, ellipses, parabolas agus hyperbolas . Tha luachan (a ), (b ) agus (c ) anns a ’cho-aontar cheàrnanach a’ toirt cunntas air cumadh na lùib agus far a bheil e suidhichte taobh a-staigh seata de cho-chomharran Cartesianach (x agus y axes). Airson tuilleadh, faic an duilleag againn air Co-chomharran cartesian .

Tha parabola air a tharraing bho cho-aontar cheàrnanach far a bheil (a ) = 1, (b ) = −4 agus (c ) = 5 a ’coimhead mar seo:

Parabola air a tharraing bho cho-aontar cheàrnanach far a bheil a = 1, b = −4 agus c = 5.

Tha grunn dhòighean eadar-dhealaichte ann gus na co-aontaran sin fhuasgladh:

1. Le Factorising

Ann am matamataig, factaran a bheil rudan air an iomadachadh còmhla. Is e factar pròiseas a thèid a chleachdadh gus dhà a chruthachadh factaran bhon abairt cheàrnach a ghabhas iomadachadh còmhla. Tha na factaran sin nan seata de camagan le abairt sreathach sìmplidh anns a bheil (x ) am broinn gach fear.

Bidh thu a ’dèanamh co-aontar cheàrnanach le bhith ag iomadachadh dà abairt eadar camagan ( (x ) + àireamh) ( (x ) + àireamh eile). Tha seo a ’ciallachadh gu bheil a h-uile gin tha fuasgladh ann faodar a sgrìobhadh anns an fhoirm dà-camagan seo.

Is e seo an taobh eile den dòigh FOIL airson cromagan a leudachadh a tha air a mhìneachadh gu h-àrd. Bheir leudachadh air dà sheata de camagan air an iomadachadh còmhla:

$$ boldsymbol {(x + m) (x + n) = x ^ 2 + (m + n) x + mn} $$

Tha seo a ’ciallachadh nuair a tha co-aontar agad san fhoirm (x ^ 2 + bx + c ), tha thu a’ coimhead airson dà àireamh mar sin nuair a thèid an iomadachadh gheibh thu (c ), agus nuair a thèid an cur ris gheibh thu (b ). Mar as trice chì thu sa bhad ma tha iad sin ann mar àireamhan slàn.

Is e dìreach na co-aontaran ceàrnanach as sìmplidh a tha furasta am faicinn. Mura h-urrainn dhut fuasgladh fhaighinn le factar an dèidh mionaid no dhà, tha e nas fheàrr dòigh eile fheuchainn.

Eisimpleir obrach


$$ boldsymbol {x ^ 2 + 9x +20 = 0} $$

Tha fios agad gu bheil 4 × 5 = 20, agus 4 + 5 = 9.

Mar sin tha an dà bhreic ( (x ) + 4) ( (x ) + 5).

Feumaidh an abairt seo a bhith co-ionann ri neoni, mar sin an dàrna cuid (x ) + 4 = 0 no (x ) + 5 = 0.

Is e an dà fhuasgladh den cho-aontar ( boldsymbol {x} ) = −4 agus ( boldsymbol {x} ) = −5 .

Carson a tha dà fhuasgladh ann airson co-aontar cheàrnanach?


Leis gu bheil an graf ann an cruth parabola.

Gu h-ìosal tha graf na co-aontar a chaidh a chleachdadh san eisimpleir gu h-àrd (y ) = (x )dhà+ 9 (x ) + 20.

Canar freumhaichean na co-aontar ris an dà luach (x ). Is iad seo luachan (x ) nuair a tha (y ) = 0. Air a ’ghraf, (y ) = 0 aig an axis-x. Mar sin tha na puingean (x ) = −4 agus (x ) = −5 far a bheil lùb na co-aontar a ’dol tarsainn an axis-x. Tha an luach as lugha de (y ) (a ’phuing as ìsle den lùb) a’ tachairt eadar (x ) = −4 agus (x ) = −5. Tha e dìreach comasach an lùb fhaicinn a ’dupadh fon axis-x air a’ ghraf seo.

A ’coimhead air a’ cho-aontar a-rithist, nuair a tha (x ) = 0, an uairsin (y ) = 20. Air a ’ghraf, chì sinn gu bheil an lùb a’ dol tarsainn an y-axis ( (x ) = 0) aig + 20. Canar y-intercept ris an seo agus tha e an-còmhnaidh luach (c ) ann an co-aontar cheàrnanach.

Graf den cho-aontar y = x ^ 2 + 9x + 20

2. A ’cleachdadh Formula

Mura h-eil an dà fhactar follaiseach, is e an ath cheum foirmle a chleachdadh. Bheir a h-uile co-aontar ceàrnanach a dh ’fhuasgladh fuasgladh freagairt leis an fhoirmle:

$$ large x = frac {-b pm sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a} $$

Anns a ’chùis seo, is e (a ) an co-èifeachd (x )dhà, (b ) de (x ), agus (c ) an àireamh aig an deireadh nuair a tha an co-aontar ann an cruth (tuagh )dhà+ (bx ) + (c ) = 0.

Co-aontar sam bith aig a bheil a-mhàin teirmichean le (x )dhà, (x ) agus faodar àireamhan a thionndadh gu cruth (ax )dhà+ (bx ) + (c ) = 0, agus an uairsin fhuasgladh leis an fhoirmle.

Air sgàth ‘s gum faod (b ) a bhith agad no nas lugha na am freumh ceàrnagach, bidh dà fhuasgladh an-còmhnaidh aig co-aontaran ceàrnanach, mar a chithear sa bhogsa fiosrachaidh gu h-àrd. Canar freumhaichean na co-aontar riutha, agus tha an adhbhar airson seo nas fhollaisiche nuair a choimheadas sinn air an fhoirmle (( pm sqrt) ).

Tha e cudromach cuimhneachadh nach eil freagairt ‘fìor’ aig cuid de cho-aontaran ceàrnanach.

Mar eisimpleir, ma tha (b )dhà& minus; Tha 4 (ac ) àicheil, an uairsin cha bhith fìor fhreagairt ann, oir chan urrainn dhut freumh ceàrnagach de àireamh minus a bhith agad, ach a-mhàin ann an cruth àireamh mac-meanmnach (tha barrachd mu àireamhan mac-meanmnach air an duilleag againn air àireamhan agus bun-bheachdan sònraichte ).


3.Completing a ’Cheàrnag

Mura h-urrainnear gabhail ris a ’cho-aontar cheàrnanach agad, tha dòigh eile air an fhoirmle a chleachdadh a ’crìochnachadh na ceàrnaig . Is dòcha gur e seo an dòigh as duilghe a thuigsinn. Feumaidh e an co-aontar ath-rèiteachadh gus am bi e na ‘ trinomial ceàrnagach foirfe ’(Tha trinomial na dhòigh matamataigeach le trì teirmean).

Tha sin a ’faireachdainn gu math toinnte, ach tha e dìreach‘ math-labhairt ’airson a bhith ag ràdh gun urrainn dhut an dòigh seo a chleachdadh gus co-aontar cheàrnanach a thionndadh bho fhear nach gabh a thoirt a-steach gu fear a dh’ fhaodar a chomharrachadh, agus gheibh thu am fuasgladh le bhith a ’tomhas. a freumh ceàrnagach.

Chan eil an dòigh seo ag obair ach airson (ax )dhà+ (bx ) + (c ) = 0 nuair a tha (a ) = 1. Ma tha (b ) eadhon, tha e eadhon nas fheàrr.

Gus an co-aontar fhuasgladh, feumaidh sinn abairt eile a thoirt a-steach:

$$ (x + frac b2) ^ 2 + c $$

Faodar an abairt seo a leudachadh gus a thoirt seachad

$$ x ^ 2 + bx + clì ( frac b2 deas) ^ 2 + c $$

Tha seo an aon rud ris a ’cho-aontar cheàrnanach thùsail, ach le teirm a bharrachd (( frac b2) ^ 2 )

Mar sin faodar an co-aontar tùsail ath-sgrìobhadh mar an abairt ùr, às aonais an teirm a bharrachd:

$$ (x + frac b2) ^ 2 - clì ( frac b2 deas) ^ 2 + c = 0 $$

Bheir ath-rèiteachadh an co-aontar ùr seo

$$ (x + frac b2) ^ 2 = -c clì ( frac b2 deas) ^ 2 $$

Faodar seo fhuasgladh le bhith a ’toirt freumh ceàrnagach gach taobh.

Na leanas eisimpleir obrachadh tha e nas fhasa an dòigh seo a thuigsinn:

Lorg luachan ( boldsymbol {x} ) nuair a bhios ( boldsymbol {x} )dhà& minus; 18 ( boldsymbol {x} ) + 72 = 0

An toiseach cuiridh tu crìoch air a ’cheàrnag le bhith a’ cur (( frac b2) ^ 2 ) ri gach taobh.

Anns a ’chùis seo is e an teirm a bharrachd seo ((18 ÷ 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 81 )

$$ x ^ 2 - 18x + 81 = -72 + 81 $$

An uairsin bidh thu a ’toirt feart air an taobh chlì:

$$ (x - 9) (x - 9) = 9 $$

Tha seo an aon rud ri

$$ (x - 9) ^ 2 = 9 $$

Chì thu, le bhith a ’cleachdadh an dòigh seo, gu bheil taobh clì na co-aontar tùsail air a thionndadh gu bhith na trinomial ceàrnagach foirfe . Faodar seo fhuasgladh le bhith a ’toirt na freumhaichean:

$$ x - 9 = pm sqrt {9} $$ $$ x = 9 pm 3 $$

Co-dhùnadh

An dèidh dhut an duilleag seo a leughadh agus na h-eisimpleirean a leantainn, bu chòir dhut a-nis a bhith a ’faireachdainn nas misneachaile mu do chomas a bhith a’ làimhseachadh co-aontaran eadhon gu math toinnte.

Dìreach cuimhnich air an riaghailt òrail:

Dèan an aon rud an-còmhnaidh ri gach taobh den cho-aontar

Ma nì thu, bidh thu gu math.


Lean air adhart gu:
Mion-sgrùdadh Staitistigeil sìmplidh
Suidhich Teòiridh