Cumaidhean trì-thaobhach: Polyhedrons, solid lùbte agus farsaingeachd uachdar

Faic cuideachd: Togalaichean Polygons

Tha an duilleag seo a ’sgrùdadh feartan chumaidhean trì-thaobhach no‘ solid ’.

Tha fad agus leud ann an cumadh dà-thaobhach. Tha doimhneachd ann an cumadh cruaidh trì-thaobhach cuideachd. Tha cumaidhean trì-thaobhach, a rèir an nàdur, air an taobh a-staigh agus an taobh a-muigh, air an sgaradh le uachdar. Tha a h-uile stuth corporra, rudan as urrainn dhut suathadh, trì-thaobhach.

Tha an duilleag seo a ’còmhdach an dà chuid solidan le taobhan dìreach ris an canar polyhedrons, a tha stèidhichte air poileagan, agus solidan le lùban, leithid cruinneagan, siolandairean agus cònaichean.




Polyhedrons

Tha polyhedrons (no polyhedra) nan cumaidhean cruaidh le taobhan dìreach. Tha polyhedrons stèidhichte air poileagan, cumaidhean plèana dà-mheudach le loidhnichean dìreach.

Faic an duilleag againn Togalaichean Polygons airson tuilleadh mu bhith ag obair le poileagan.

Tha polyhedrons air am mìneachadh mar:

  • Dìreach oirean .
  • Taobhan còmhnard ris an canar aghaidhean .
  • Oiseanan, ris an canar vertices .

Bidh polyhedrons gu tric cuideachd air an comharrachadh leis an àireamh de oirean, aghaidhean agus vertices a tha aca, a bharrachd air a bheil na h-aghaidhean aca uile den aon chumadh agus meud. Coltach ri poileagan, faodaidh polyhedrons a bhith cunbhalach (stèidhichte air poileagan cunbhalach) no neo-riaghailteach (stèidhichte air poileagan neo-riaghailteach). Faodaidh polyhedrons a bhith concave no convex.

Is e an ciùb aon de na polyhedrons as bunaitiche agus as eòlaiche. Tha ciùb na polyhedron cunbhalach, le sia aghaidhean ceàrnagach, 12 oirean, agus ochd vertices.


Togalaichean Polyhedrons Bunasach. Polyhedrons cunbhalach, prìosain agus pioramaidean.

Polyhedrons cunbhalach (Platonic Solids)

Na còig solaidean cunbhalach tha iad nan clas sònraichte de polyhedrons, tha na h-aghaidhean aca uile co-ionann le gach aghaidh mar phoileagan cunbhalach. Is iad na solaidean platonach:

  • Tetrahedron le ceithir aghaidhean triantan co-thaobhach.
  • Ciùb le sia aghaidhean ceàrnagach.
  • Octahedron le ochd aghaidhean triantan co-thaobhach.
  • Dodecahedron le dusan aghaidh pentagon.
  • Icosahedron le fichead aghaidh triantan co-thaobhach.
Faic an diagram gu h-àrd airson dealbh de gach aon de na polyhedrons cunbhalach sin.

Dè a th ’ann am Prism?

GU priosam a bheil polyhedron sam bith aig a bheil dhà a ’maidseadh cinn agus taobhan còmhnard . Ma ghearras tu priosam an àite sam bith, co-shìnte ri deireadh, tha an roinn-tarsainn aige mar an ceudna - bhiodh dà phrìosan agad. Tha taobhan priosam co-shìnte - cumaidhean ceithir-thaobhach le dà phaidhir de thaobhan le fad co-ionann.

Antiprisms tha iad coltach ri prìosanan cunbhalach, tha na cinn aca a ’maidseadh. Ach tha taobhan an aghaidh prìosain air an dèanamh suas de thriantanan agus chan e co-shìntean. Faodaidh antiprisms a bhith gu math toinnte.

Dè a th ’ann am Pioramaid?

Tha pioramaid na polyhedron le a bunait poileagan tha sin a ’ceangal ri apex (puing gu h-àrd) le taobhan dìreach.

Ged a tha sinn buailteach a bhith a ’smaoineachadh air pioramaidean le bonn ceàrnagach, mar an fheadhainn a thog na seann Èiphitich, faodaidh iad gu dearbh bunait poileagan a bhith aca, cunbhalach no neo-riaghailteach. A bharrachd air an sin, faodaidh apex a bhith aig pioramaid ann am meadhan dìreach a bhunait, a Pioramaid ceart , no faodaidh an ionad apex a bhith agad nuair a tha e na Pioramaid oblique .

Solim Archimedean - Ciùb teasairginn

Barrachd polyhedrons iom-fhillte

Tha mòran a bharrachd de sheòrsaichean polyhedra ann: co-chothromach agus neo-riaghailteach, concave agus convex.

Solid Archimedean, mar eisimpleir, air a dhèanamh suas de co-dhiù dà phoileagan cunbhalach eadar-dhealaichte.

Tha an ciùb teasairginn (mar a chithear) na stuth Archimedean le 14 aghaidhean. Tha 6 de na h-aghaidhean nan octagons cunbhalach agus tha na 8 eile nan triantanan cunbhalach (co-thaobhach). Tha 36 oirean agus 24 vertices (oiseanan) air an cumadh.


Cumaidhean trì-thaobhach le lùban

Chan eil cumaidhean solid a tha a ’toirt a-steach oir lùbte no cruinn mar polyhedrons. Chan urrainn ach taobhan dìreach a bhith aig polyhedrons.

Bidh mòran de na stuthan mun cuairt ort a ’toirt a-steach co-dhiù cuid de lùban. Ann an geoimeatraidh is e na siolandairean lùbte as cumanta siolandairean, cònaichean, raointean agus tori (an iomarra airson torus).

Cumaidhean Trì-thaobhach Coitcheann le Curves:
Siolandair Cone
Siolandair Cone
Tha an aon chrois-earrann aig siolandair bho aon cheann chun cheann eile. Tha dà cheann aig cearcall aig cearcall no cearcall ugh-chruthach. Ged a tha e coltach, chan e siolandairean prìosain leis gu bheil priosam (le mìneachadh) co-shìnte, taobhan còmhnard. Tha còn le bonn cruinn no ugh-chruthach agus apex (no vertex). Tha taobh nan còn a ’tapadh gu rèidh ris an apex. Tha còn coltach ri pioramaid ach sònraichte leis gu bheil aon taobh lùbte agus bonn cruinn aig còn.
Sphere Torus
Sphere Torus
Air a chumadh mar ball no cruinne tha cruinne na rud gu tur cruinn. Tha a h-uile puing air uachdar cruinne aig astar co-ionann ri meadhan na cruinne. Air a chumadh mar fhàinne, taidhriche no donut, thèid torus fàinne cunbhalach a chruthachadh le bhith a ’tionndadh cearcall nas lugha timcheall air cearcall nas motha. Tha cruth tori nas iom-fhillte ann cuideachd.

Raon uachdar

An duilleag againn air Raon àireamhachaidh a ’mìneachadh mar a dh’ obraicheas tu a-mach farsaingeachd chumaidhean dà-thaobhach agus feumaidh tu na bunaitean sin a thuigsinn gus obrachadh a-mach farsaingeachd uachdar chumaidhean trì-thaobhach.

Airson cumaidhean trì-thaobhach, bidh sinn a ’bruidhinn farsaingeachd uachdar , gus troimh-chèile a sheachnadh.

Faodaidh tu an t-eòlas agad a chleachdadh mun raon de chumaidhean dà-thaobhach gus farsaingeachd uachdar cumadh trì-thaobhach obrachadh a-mach, leis gu bheil gach aghaidh no taobh gu h-èifeachdach ann an cumadh dà-thaobhach.

Mar sin bidh thu ag obair a-mach farsaingeachd gach aghaidh, agus an uairsin gan cur còmhla.

Coltach ri cumaidhean còmhnard, tha farsaingeachd uachdar solid air a chuir an cèill ann an aonadan ceàrnagach: cmdhà, òirleachdhà, mdhàAgus mar sin air adhart. Gheibh thu barrachd fiosrachaidh mu aonadan tomhais air an duilleag againn Siostaman tomhais .

Eisimpleirean de àireamhachadh farsaingeachd uachdar

Raon uachdar ciùb

Ciùb

Tha an farsaingeachd uachdar ciùb a bheil farsaingeachd aon aghaidh (fad x leud) air iomadachadh le 6, seach gu bheil na sia aghaidhean uile mar an ceudna.

Leis gur e ceàrnag a th ’ann an aghaidh ciùb chan fheum thu ach aon tomhas a dhèanamh - tha fad is leud ceàrnag, a rèir mìneachadh, mar an ceudna.

Mar sin tha aon aghaidh den ciùb seo 10 × 10 cm = 100cmdhà. Dèan iomadachadh le 6, an àireamh de dh ’aghaidhean air ciùb, agus gheibh sinn a-mach gu bheil farsaingeachd uachdar na ciùb seo 600cmdhà.

Polyhedrons cunbhalach eile

San aon dòigh, faodar farsaingeachd uachdar nam polyhedrons cunbhalach eile (solidean platonach) obrachadh a-mach le bhith a ’lorg farsaingeachd aon taobh agus an uairsin ag iomadachadh an fhreagairt leis an àireamh iomlan de thaobhan - faic an diagram Polyhedrons Bunasach gu h-àrd.

Ma tha farsaingeachd aon phentagon a ’dèanamh suas dodecahedron 22cmdhàan uairsin iomadaich seo leis an àireamh iomlan de thaobhan (12) gus an fhreagairt a thoirt 264cmdhà.


Pioramaid

Gus obrachadh a-mach an farsaingeachd uachdar pioramaid àbhaisteach le ceithir taobhan triantanach co-ionann agus bonn ceàrnagach:

An toiseach obraich a-mach farsaingeachd a ’bhunait (ceàrnagach) de dh'fhaid × leud.

An ath rud obraich a-mach farsaingeachd aon taobh (triantan). Tomhais an leud air feadh a ’bhunait agus an uairsin àirde an triantain (ris an canar cuideachd fad slant) bhon phrìomh àite air a’ bhunait chun apex.

Faodaidh tu an uairsin do fhreagairt a roinn le 2 gus farsaingeachd uachdar aon triantan a thoirt dhut agus an uairsin iomadachadh le 4 gus farsaingeachd uachdar nan ceithir taobhan a thoirt seachad, no dìreach farsaingeachd uachdar aon triantan a iomadachadh le 2.

Mu dheireadh cuir farsaingeachd a ’bhunait agus na taobhan ri chèile gus farsaingeachd uachdar iomlan na pioramaid a lorg.

Gus obrachadh a-mach an farsaingeachd uachdar de sheòrsa eile pioramaid, cuir ri chèile farsaingeachd a ’bhunait (ris an canar farsaingeachd a’ bhunait) agus farsaingeachd nan taobhan (sgìre taobhach), is dòcha gum feum thu na taobhan a thomhas leotha fhèin.

ciamar a tha thu ag obrachadh a-mach farsaingeachd cumadh

Diagraman lom

Tha lìon geoimeatrach na 'phàtran' dà-thaobhach airson rud trì-mheudach. Faodaidh lìn a bhith cuideachail nuair a tha thu ag obrachadh a-mach farsaingeachd uachdar nì trì-thaobhach. Anns an diagram gu h-ìosal chì thu mar a tha pioramaidean bunaiteach air an togail, ma tha am pioramaid ‘neo-fhillte’ tha thu air fhàgail leis an lìon.

Lìn pioramaid

Airson tuilleadh air diagraman lom faic an duilleag againn Cumaidhean 3D agus lìn .


Raon uachdar priosam

Priosam

Gus obrachadh a-mach an farsaingeachd uachdar priosam :

Tha dà cheann aig prìosanan an aon taobh agus taobhan co-shìnte còmhnard.

Obraich a-mach farsaingeachd aon cheann agus iomadaich le 2.

Airson priosam cunbhalach (far a bheil na taobhan uile mar an ceudna) obraich a-mach farsaingeachd aon de na taobhan agus iomadaich leis an àireamh iomlan de thaobhan.

Airson prìosain neo-riaghailteach (le taobhan eadar-dhealaichte) obraich a-mach farsaingeachd gach taobh.

Cuir an dà fhreagairt agad còmhla (cinn × taobhan) gus farsaingeachd uachdar iomlan a ’phriosam a lorg.


Siolandair

Raon uachdar siolandair

Eisimpleir:
Radius = 5cm
Àirde = 10cm

Gus obrachadh a-mach an farsaingeachd uachdar siolandair tha e feumail smaoineachadh mu na pàirtean den chumadh. Smaoinich air staoin de sweetcorn - tha mullach agus bonn air, agus tha an dà chuid nan cearcallan. Ma gheàrr thu an taobh air a fhad agus ma chòmhnard tu e bhiodh ceart-cheàrnach agad. Mar sin feumaidh tu farsaingeachd dà chearcall agus ceart-cheàrnach a lorg.

An toiseach obraich a-mach farsaingeachd aon de na cearcaill.

Is e farsaingeachd cearcall π (pi) × radiusdhà.

A ’gabhail ris radius 5cm, is e farsaingeachd aon de na cearcaill 3.14 × 5dhà= 78.5cmdhà.

Iomadaich am freagairt le 2, oir tha dà chearcall 157cm anndhà

Is e farsaingeachd taobh an t-siolandair iomall a ’chearcaill × àirde an t-siolandair.

Tha an trast-thomhas co-ionann ri radius π x 2 ×. San eisimpleir againn, 3.14 × 2 × 5 = 31.4

Tomhais àirde an t-siolandair - mar eisimpleir tha an àirde 10cm. Is e farsaingeachd uachdar na cliathaich 31.4 × 10 = 314cmdhà.

Gheibhear an farsaingeachd uachdar iomlan le bhith a ’cur farsaingeachd nan cearcallan agus an taobh ri chèile:

157 + 314 = 471cmdhà


Obraich a-mach farsaingeachd uachdar còn.

Eisimpleir:
Radius = 5cm
Fad Slant = 10cm

Cone

Nuair a thathar a ’tomhas na farsaingeachd uachdar còn feumaidh tu fad an ‘slant’ a chleachdadh a bharrachd air radius a ’bhunait.

Ach, tha e gu math sìmplidh obrachadh a-mach:

Is e farsaingeachd a ’chearcaill aig bonn a’ chòn, π (pi) × radiusdhà.

San eisimpleir seo, is e an t-suim 3.14 × 5dhà= 3.14 × 25 = 78.5cmdhà

Gheibhear farsaingeachd an taobh, an roinn leathad, a ’cleachdadh na foirmle seo:

π (pi) × radius × fad slant.

San eisimpleir againn, is e an t-suim 3.14 × 5 × 10 = 157cmdhà.

Mu dheireadh cuir an raon bun ris an raon taobh gus farsaingeachd uachdar iomlan a ’chòn fhaighinn.

78.5 + 157 = 235.5cmdhà


Obraich a-mach farsaingeachd uachdar cruinne.

Ball teanas:
Trast-thomhas = 2.6 òirleach

Sphere

Tha an farsaingeachd uachdar cruinne tha leudachadh an ìre mhath sìmplidh den fhoirmle airson sgìre cearcaill.

Radius 4 × π ×dhà.

Airson cruinne tha e nas fhasa an trast-thomhas a thomhas - an astar tarsainn na cruinne. Gheibh thu an uairsin an radius a tha leth den trast-thomhas.

dè an cumadh aig a bheil 3 taobhan agus 1 ceàrn cheart

Tha trast-thomhas ball teanas àbhaisteach 2.6 òirleach. Mar sin tha an radius 1.3 òirleach. Airson an fhoirmle feumaidh sinn an radius ceàrnagach. 1.3 × 1.3 = 1.69.

Mar sin tha farsaingeachd uachdar ball teanas:

4 × 3.14 × 1.69 = 21.2264 òirleachdhà.


Obraich a-mach farsaingeachd uachdar torus.

Eisimpleir:
R (Radius Mòr) = 20 cm
r (Radius Beag) = 4 cm

Torus

Gus obrachadh a-mach an farsaingeachd uachdar torus feumaidh tu dà luach radius a lorg.

Tha an radius mòr no mòr (R) air a thomhas bho mheadhan an toll gu meadhan an fhàinne.

Tha an radius beag no beag (r) air a thomhas bho mheadhan an fhàinne chun an oir a-muigh.

Tha an diagram a ’sealltainn dà shealladh de eisimpleir torus agus mar a nì thu tomhas air na radiuses (no radii) aige.

Tha an àireamhachadh gus an raon uachdar a lorg ann an dà phàirt (aon airson gach radius). Tha an àireamhachadh an aon rud airson gach pàirt.

Is e am foirmle: farsaingeachd uachdar = (2πR) (2πr)

Gus obrachadh a-mach farsaingeachd uachdar an torus eisimpleir.

(2 × π × R) = (2 × 3.14 × 20) = 125.6

(2 × π × r) = (2 × 3.14 × 4) = 25.12

Iomadaich an dà fhreagairt còmhla gus farsaingeachd uachdar iomlan an torus eisimpleir a lorg.

125.6 × 25.12 = 3155.072cmdhà.


A ’lìonadh Solid: Volume

Le cumaidhean trì-thaobhach, is dòcha gum feum fios a bhith agad cia mheud toirt tha aca.

Ann am faclan eile, nam biodh tu gan lìonadh le uisge no adhair, dè an lìonadh a bhiodh a dhìth ort?

Tha seo air a chòmhdach air an duilleag againn A ’tomhas tomhas .

Lean air adhart gu:
Raon àireamhachaidh
Cumaidhean 3D agus lìn